气动薄膜调节阀控制气体压力的建模与仿真

    0 引言

    目前气动薄膜调节阀在航空产品测试台中的应用十分广泛，一种常见的应用见图1所示。

图1 气动薄膜调节阀用于气体压力控制框图

    然而，实际工程中使用PI算法对这类对象控制时，控制精度不高，其中一个具体的表现是测压点的压力容易出现波动。

    为解决工程中控制精度不高的问题，应首先建立控制对象的一个合适的模型。

    研究了气动薄膜阀的结构与执行机构工作原理，在给出气动薄膜阀的结构的基础上发展了一个动态仿真模型，研究了运动阀芯动态不平衡力，以理想气体特性为基础，分别建立了减压阀充填过程动态数学模型和减压器工作过程的数学模型。

    这些文献没有作出关于图1所示系统的模型，但可作为展开进一步研究的基础。

    为便于对工程问题进行分析与仿真，以获得线性系统模型为目标展开研究工作。

    1 气动薄膜调节阀控制模型

    描述了气动薄膜调节阀的基本结构及工作原理（见图2所示），可以将理想状态下的气动薄膜调节阀的运动机构看作是质量－弹簧－阻尼系统，给出了它的动态方程：

        （1）

    式中：m，k，g是常数，实际上，令，有

        （2）

图2 气动薄膜调节阀

    进一步考虑式（2）中的摩擦力f，作为动摩擦力可以与式中阻尼项合并。另外，还要考虑系统的静摩擦力f₀，于是得到垂直安装时调节阀的运动方程：

       （3）

    式中：m＞0：与执行阀杆刚性连接的运动部件总质量，η＞0：运动阻尼系数，k＞0：弹簧的弹性系数，x：阀杆位移，f_s：信号压力在薄膜上产生的推力，f_t：调节阀所控流体在阀芯上的压力差产生的不平衡力。

    由式（3），令，得到气动薄膜调节阀模型在时的状态空间表达式：

        （4）

    结论1：时，气动薄膜调节阀控制模型是能控且能观的。

    证明：令式（4）中系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵分别为A，B，C，则

    rankM＝2，因此式（4）表达的系统是能控的。

    rankN＝2，因此式（4）表达的系统是能观的。

    气动薄膜调节阀工作时f_t受流体动压的影响。指出在阀芯作匀速运动、进口流速固定、进出口压差固定等特定条件下，f_t与阀开度存在着关系，但这些关系是难以用解析式表达的，而且，在更一般的条件下，f_t的变化规律很难掌握。因此，将f_t看做输入向量中的扰动分量。可将式（4）进一步写为：

        （5）

    结论2：当，且将f_t固定为某个值时，气动薄膜调节阀控制模型是能控且能观的。

    证明：在式（2－4＊）中令f_t＝δ（δ是常数），有

    将（f_s－δ）看做控制输入，使用结论1的证明方法即可得证。

    式（4）中y表示调节阀的阀杆位置输出，它决定调节阀提供给流体的流通面积S，根据不同形状的阀芯，S与y有不同的函数关系，对于具有某种流量特性的调节阀来说，这个关系是确定的，可以一般性地设为S＝S（y）。

    2 管道中流动气体压力模型

    设图1中进口压缩空气压力为p₁，出口压力为p₃，测压点压力为p₂，调节阀流通面积为S₁，用气设备消耗气体时等效流通面积为S₂，节流嘴流通面积为常数S₀，并给出以下假设：

    假设1：图1系统满足下列条件：

    （1）工作气体为理想气体；

    （2）气体比热比为常数；

    （3）各容腔内温度场和压力场分布均匀；

    （4）气体的流动为等熵流动；

    （5）p₁＞p₂＞p₃总是成立。

    在假设1的条件下，得到测压点压力动态方程：

        （6）

    式中：V＞0：管道容积，K＞1：气体比热比，介质是理想气体时等于绝热指数，R＞0：气体常数，C₁，C₂：流量系数，与气体节流处前后的压差有关，α₁，α₂：容腔内声速，与容腔内的气体温度有关，g₂₁，g₃₂由关系式表达：

    当时，

        （7）

    当时，

        （8）

    式中：（i，j）=（2，1），（3，2）。

    显然，方程（3-1）是一个非线性系统。

    因p_i＜p_j，K＞1，故式（3－2）中g_ij关于单减，于是当时，

         （9）

    式中：（i，j）＝（2，1），（3，2）。

    设，将式（6）写成

        （10）

    为了避免过于复杂的讨论，以工程实际为基础给出一个假设。

    如图1所示的系统在实际工程中可以通过恰当的部件选择与调整，使当进口压缩空气压力和气体消耗稳定，调节阀开度固定在某个位置时，测压点压力恒定。于是有：

    假设2：至少存在一个（p₁，S₁，S₂）的取值，使方程（3－5）中p₂＞0且＝0。

    显然，若有一组值p'₁，S'₁，S'₂，p'₂使假设2成立，则：

        （11）

    是方程（10）的一个静态解，从而：

    （1）可设此时的α₁＝S'₂，β1＝p'₁。此时各容腔的压力恒定，由C₁，C₂及α₁，α₂含义与特性，故可设此时的C1，C2及α₁，α₂分别为常数β₂，α₂和β₃，α₃。于是，对于式（10），有：

    式中：Δα_i，Δβ_i（i＝1，2，3）为对应常参数α_i，β_i（i＝1，2，3）的摄动。

    （2）设。当p₁，p₂满足式（8）条件时，g₂₁＝β‘₄为常数。当p₁，p₂满足式（7）条件时， 

    由式（9）可得g₂₁＝β’₄+Δβ‘₄（-β’₄＜Δβ‘₄＜0）。从而，在假设2条件下，总可以找到一个固定的β₄∈（0，β’₄），使此时的g₂₁＝β₄。同理，可找到一个固定的α₄∈（0，α‘₄），使此时的g₃₂＝α₄。于是对于式（10），有：

    g₃₂＝α₄＋Δα₄，g₂₁＝β₄＋Δβ₄

    式中：Δα₄，Δβ₄是对应常参数α₄，β₄的摄动。

    设：

    得：

    再令p＝p₂，u_s＝S₁，有：

        （12）

    这是一个具有不确定性的被控对象，式中Δa、Δb分别是a、b的不确定性。由前面的分析知，a＜0，b＞0。

    3 综合模型讨论

    由图1给出的系统结构及式（5）和（12），可以得到：

    结论4－1：满足条件及假设3-1、3-2时，气动薄膜调节阀控制于气体压力可由一组含不确定性的线性系统模型表示：

        （13）

    更进一步，讨论气动薄膜阀阀杆位置与流体流通面积为线性关系的情况，即令u（x₁）＝λx₁（λ＞0为常数）。再令p＝x₃，由式（13）可得下面结论。

    结论4-2：当满足条件及假设3-1、3-2，并且气动薄膜阀阀杆位置与流体流通面积为线性关系时，气动薄膜调节阀控制气体压力时含有不确定性的线性系统模型表示为：

        （14）

    式中：y_p表示系统输出，为图1测压点压力，其余符号同前面讨论中的定义。

    结论4-3：将f_t固定为某个值且不确定性Δα=Δb=0时，结论4-2给出的系统是控并且是能观的。

    证明：令f_t=δ（是常数），将（f_s-δ）看做控制输入，此时的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵分别为A，b，c，于是，

    显然rankM＝3，rankN＝3，结论成立。

    4 工程中不确定性影响的仿真分析

    由于现场组态简便且参数整定有很多成熟经验的方法，工程上应用PI控制算法十分普遍。一个实用的问题由此提出：哪一种不确定性对这个闭环系统的影响更大。

    通过构造一个采用PI控制算法的仿真实例对这个问题进行分析，控制对象为结论4-2中给出的线性系统模型。

    设给定信号为y_ref，k_p，k_i＞0为常数，则控制作用为：

        （15）

    令代入式（15），有

        （16）

    式中：k_p，k_i分别是PI控制的比例系数与积分系数。再综合式（7），得：

       （17）

    于是，工程中使用PI算法实现气动薄膜调节阀调节气体压力以跟踪一个给定信号的问题可以描述为：选择合适的参数k_p，k_i＞0，使式（17）中的输出y_p跟踪给定y_ref。讨论这个问题时，式（17）可以很方便地使用SIMULINK仿真。

    先构造一个忽略不确定性的模型。假设式（17）中：

    =3.0，给定信号y_ref为单位阶跃函数。

    仿照实际工程，对按经验的方法进行试凑，其中一个仿真结果如图3所示，此时。

图3 一个忽略不确定性的仿真结果

    保持所有参数不变，使用S函数模拟PI调节过程中出现的不确定性。

    首先设，使系统参数出现摄动，得到的仿真如图4所示。此时虽然yp出现了较大超调，但仍能跟踪y_ref。

图4 带参数摄动的仿真结果

    进一步将作用在阀芯上的不平衡力f_t引入仿真。设f_t＝0.2+0.1sint，得到如图5所示的结果，此时输出y_p按阀芯扰动的频率波动。

图5 带参数摄动和阀芯扰动的仿真结果

    再设Δb＝0，Δα＝0，得到图6所示的仿真结果，此时输出y_p仍然按阀芯扰动的频率波动。

图6 带阀芯扰动的仿真结果

    由以上仿真可以看出，使y_p无法跟踪y_ref的主要原因来自阀芯的扰动，而对于只有参数摄动的系统来说，PI控制具有一定的鲁棒性。因此，在使用PI控制算法的实际工程中，若要满足较高的控制精度要求，应在气动薄膜调节阀上增加阀门定位器附件，以减少不平衡力的影响。

    5 结论

    气动薄膜调节阀用于气体压力控制这类控制对象是一个典型的非线性滞后系统，以工程实际为基础给出假设并且恰当引入不确定性，是对这类控制对象进行线性系统建模的关键方法。这个方法不但使建模过程简化，而且得到的模型在讨论工程问题时具有实用性。

    结论2-1和2-2给出了气动薄膜调节阀的状态空间表达式和基本性质，是对这类控制对象建模的基础，也可以用于其它使用气动薄膜调节阀的系统的建模与分析。

    结论4-1、4-2和4-3给出了气动薄膜调节阀用于气体压力控制这类控制对象使用工程近似化方法得到的线性系统模型与基本性质。通过一个仿真实例表明，这些结论在工程上具有实用意义。